Sólidos Platónicos.

¿Qué son los Sólidos Platónicos?

Los sólidos platónicos, regulares o perfectos son poliedros convexos tal que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí, y en que todos los ángulos sólidos son iguales.

       También se conocen como cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros platónicos o, sobre la base de propiedades geométricas, poliedros regulares convexos. (Wikipedia, 2022, párr. 1)  

¿Cuántos y Cuáles Son los Sólidos Platónicos? 

    Los sólidos platónicos son cinco y son los siguientes: 

    El tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro (o bipirámide cuadrada si se incluyera en la nomenclatura de sólidos de Johnson),​el dodecaedro y el icosaedro (o bipirámide pentagonal giroelongada si se incluyera en la nomenclatura de sólidos de Johnson). Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido diferente de los cinco anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad. (Wikipedia, 2022, párr. 3)

     A continuación se presentan las representaciones graficas de los 5 sólidos platónicos. Ver Figura 1

Figura 1.

Representaciones gráficas de los 5 sólidos platónicos o poliedros regulares convexos.

Nota. Tomado de Los 5 Sólidos Platónicos – Propiedades, Diagramas y Ejemplos (párr. 7), por Neurochispas 2022. 

Propiedades de los Sólidos Platónicos

• Existen únicamente cinco poliedros regulares; ello debido a la posibilidad de construcción de sus ángulos sólidos que admiten triángulos equiláteros, o cuadrados, o bien pentágonos, que deben ser menor de 360°(Wikipedia, 2022, párr. 8).

• Regularidad. 

• Las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
• En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.
• Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
• Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
• Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro.(Wikipedia, 2022, párr. 9).
• Los sólidos platónicos cumplen con el teorema de Euler para poliedros, el cual "enuncia que el número de caras de un poliedro platónico más el número de sus vértices es igual al número de sus aristas más dos, mediante la siguiente ecuación: c+v = a + 2" (Wikipedia, 2022, párr. 16). En donde, C es el número de caras, V es el número de vértices y A es el número de aristas.

    A continuación se muestra el desarrollo de los Sólidos Platónicos . Ver Figura 2.

Figura 2

Desarrollo de los Sólidos Platónicos.

Nota. El primer poliedro regular convexo es el tetraedro, de color rojo; seguido por el cubo, de color azul; el octaedro de color amarillo; el dodecaedro de color verde y por ultimo el icosaedro de color rosa. Tomado de (kinuma - jugar, crear y soñar, s.f.).

Datos de cada Sólido Platónico

Tetraedro

Número de caras: 4
Polígonos que forman las caras: Triángulos Equiláteros
Número de aristas: 6
Número de vértices: 4
Caras concurrentes en cada vértice: 3
Vértices contenidos en cada cara: 3

Hexaedro o Cubo

Número de caras: 6
Polígonos que forman las caras: Cuadrados
Número de aristas: 12
Número de vértices: 8
Caras concurrentes en cada vértice: 3
Vértices contenidos en cada cara: 4
Octaedro

Octaedro

Número de caras: 8
Polígonos que forman las caras: Triángulos Equiláteros
Número de aristas: 12
Número de vértices: 6
Caras concurrentes en cada vértice: 4
Vértices contenidos en cada cara: 3

Dodecaedro

Número de caras:12
Polígonos que forman las caras: Pentágonos Regulares
Número de aristas:30
Número de vértices: 20
Caras concurrentes en cada vértice: 3
Vértices contenidos en cada cara: 5

Icosaedro

Número de caras: 20
Polígonos que forman las caras: Triángulos Equiláteros
Número de aristas: 30
Número de vértices: 12
Caras concurrentes en cada vértice: 5
Vértices contenidos en cada cara: 3

    Por ultimo un video educativo para profundizar acerca de la temática. ver Figura 3.

Figura 3 

Video educativo acerca de los sólidos platónicos 

Nota. Tomado de Eleanor Abernathy. ( 8 de enero de 2021). Geometría de poliedros en N dimensiones: ¿Por qué sólo hay 5 sólidos platónicos en 3D?. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=zdKq_hXYlz4&t=167s

Glosario

Convexidad: La convexidad (del latín convexĭtas, -ātis) de una curva o una superficie, es la zona que se asemeja al exterior de una circunferencia o una superficie esférica, es decir, que tiene su parte sobresaliente dirigida al observador. Es el concepto opuesto a la 'concavidad'.

    Una parte C de un espacio vectorial real es convexa si para cada par de puntos de C, el segmento que los une está totalmente incluido en C; es decir, un conjunto es convexo si se puede ir de cualquier punto a cualquier otro en línea recta, sin salir del mismo. (Wikipedia, 2022, párr. 1, 2)

Poliedro: Cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito.(…) Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales. (Wikipedia, 2022, párr. 1, 2)

Poliedros convexos: Un poliedro convexo es un politopo tridimensional cuyo interior describe un conjunto convexo. Un poliedro convexo cumple con la propiedad de que, para cualquier segmento, si sus extremos se encuentran en el interior del poliedro, el resto del segmento también lo está. (Wikipedia, 2022, párr. 1)

Polígono: En geometría, un polígono es una figura geométrica plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano.1​ Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El polígono es el caso bidimensional del politopo.(Wikipedia, 2022, párr. 1)

Politopo: En geometría, politopo significa, en primer lugar, la generalización a cualquier dimensión de un polígono bidimensional o un poliedro tridimensional (Wikipedia, 2022, párr. 1).

Tridimensional: En física, geometría y análisis matemático, un objeto o ente es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir, cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres números dentro de un cierto rango. Ejemplo: anchura, altura y profundidad. (Wikipedia, 2022, párr. 1)

Referencias 

    Sólidos platónicos. (26 de julio de 2022). En Wikipedia. https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=S%C3%B3lidos_plat%C3%B3nicos&oldid=144989918

    Poliedro convexo. (22 de agosto de 2022). En Wikipedia. https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Poliedro_convexo&oldid=145526168  

    Convexidad. (20 de marzo de 2022). En Wikipedia. https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Convexidad&oldid=142390639

    Poliedro. (1de septiembre de 2022). En Wikipedia. https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Poliedro&oldid=145715460

    Tridimensional. (8 de junio de 2022). En Wikipedia. https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tridimensional&oldid=144068274

    Polígono. (16 de agosto de 2022). En Wikipedia. https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pol%C3%ADgono&oldid=145411776

    Politopo. (21 de marzo de 2022). En Wikipedia. https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Politopo&oldid=142409527

    Eleanor Abernathy. ( 8 de enero de 2021). Geometría de poliedros en N dimensiones: ¿Por qué sólo hay 5 sólidos platónicos en 3D?. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=zdKq_hXYlz4&t=167s

    kinuma - jugar, crear y soñar. (s.f.).Polydron set para construir Sólidos Platónicos - 50 piezas geométricas - kinuma.com.https://kinuma.com/13248-thickbox_default/polydron-set-para-construir-solidos-platonicos-50-piezas-geometricas.jpg